Black-Scholes : la formule qui a donné naissance à Wall Street

Cette année mar­que le 50^e anniver­saire de la pub­li­ca­tion d’un arti­cle de référence : “The Pric­ing of Options and Cor­po­rate Lia­bil­i­ties” (« L’Évaluation des options et des oblig­a­tions d’entreprises ») par Fis­ch­er Black et Myron Scholes. Cet arti­cle décrit une méth­ode pour déter­min­er le prix d’une option d’achat, un con­trat financier qui donne à son déten­teur le droit (mais pas l’obligation) d’acheter un act­if financier, appelé l’actif sous-jacent, à un prix prédéter­miné, à une date future prédéter­minée. Mal­gré toute son impor­tance, la for­mule elle-même n’est pas la con­tri­bu­tion-clé de l’article, car cer­taines ver­sions de celle-ci étaient con­nues bien avant Black et Scholes, notam­ment à par­tir de la thèse de doc­tor­at de Louis Bache­li­er, pub­liée en 1900 et inti­t­ulée « Théorie de la Spécu­la­tion ». La con­tri­bu­tion prin­ci­pale réside dans la méth­ode util­isée par Black et Scholes pour prou­ver que la for­mule est vraie.

Pour com­pren­dre leur idée, pensez à une option d’achat. Son prix devrait claire­ment dépen­dre du prix de l’actif sous-jacent : lorsque le prix de l’actif est élevé, le prix de l’option asso­ciée devrait égale­ment être élevé, et de même, lorsque le prix de l’actif est bas, le prix de l’option devrait aus­si être bas. Au fur et à mesure que le temps passe et que le prix de l’actif fluctue, le prix de l’option fluctuera égale­ment. Il devrait alors être pos­si­ble, en achetant les act­ifs de manière dynamique, de con­stituer un porte­feuille dont la valeur fluctuera exacte­ment de la même manière que le prix de l’option. Par con­séquent, si un trad­er a ven­du l’option et détient ce porte­feuille dynamique, sa posi­tion ne sera pas affec­tée par les fluc­tu­a­tions du marché, ce qui le rend essen­tielle­ment sans risque.

Au fur et à mesure que la théorie de Black et Scholes s’est répan­due, les options ont pu être négo­ciées avec une plus grande sécu­rité, sans pren­dre trop de risques. 

C’est là que l’idée fon­da­men­tale de Black et Scholes entre en jeu : si la posi­tion est sans risque, le ren­de­ment de cette posi­tion devrait être égal au ren­de­ment de l’actif sans risque, tel qu’une oblig­a­tion d’état. Le con­cept sous-jacent à cette idée s’appelle « absence d’arbitrage ». Si le ren­de­ment de la posi­tion sans risque du trad­er était dif­férent du taux d’intérêt, le trad­er pour­rait gag­n­er de l’argent sans pren­dre de risque et devenir très riche très rapi­de­ment. En recon­nais­sant que le ren­de­ment du porte­feuille cou­vert est égal au taux d’intérêt, Black et Scholes ont ensuite dérivé une équa­tion pour le prix de l’option, dont la solu­tion est don­née par la for­mule de Black-Scholes.

L’importance de l’approche de Black et Scholes réside dans le fait que leur for­mule repose sur une stratégie de cou­ver­ture de l’option : un trad­er ven­dant une option au prix don­né par la for­mule B‑S peut immé­di­ate­ment met­tre en place une stratégie per­me­t­tant de min­imiser, voire d’éliminer com­plète­ment, le risque asso­cié à cette posi­tion. Avant Black et Scholes, de telles straté­gies de cou­ver­ture dynamique ne pou­vaient pas être cal­culées de manière sys­té­ma­tique, ce qui ralen­tis­sait le développe­ment des marchés dérivés.

Au fur et à mesure que la théorie de Black et Scholes s’est répan­due, les options ont pu être négo­ciées avec une plus grande sécu­rité, sans pren­dre trop de risques. Cela a con­duit à l’expansion du trad­ing d’options et à la créa­tion de marchés d’options, dont le Chica­go Board of Options Exchange (1973), le Marché des Options Négo­cia­bles de Paris (1987) et d’autres.

La for­mule Black-Scholes a con­nu une jeunesse tumultueuse. Le pre­mier aver­tisse­ment est venu avec la crise finan­cière de 1987. Une des prin­ci­pales hypothès­es der­rière la for­mule est que le prix de l’actif suit une « marche aléa­toire en temps con­tinu ». Cela implique que la prob­a­bil­ité d’une forte vari­a­tion sur une courte péri­ode de temps, comme une seule journée, est très faible. Néan­moins, le lun­di 19 octo­bre 1987, désor­mais célèbre sous le nom de « Lun­di noir », le Dow Jones Indus­tri­al Aver­age (le prin­ci­pal indice de l’économie améri­caine de l’époque) a chuté de 22,6 %. Les vendeurs d’options de vente – ces dernières étant conçues pour offrir une pro­tec­tion con­tre de telles baiss­es – ont subi de lour­des pertes. Il est devenu évi­dent que si la for­mule Black-Scholes fonc­tion­nait bien dans des con­di­tions de marché nor­males, elle ne tenait pas compte des événe­ments extrêmes comme le Lun­di noir.

La réponse des marchés financiers a été d’ajuster les paramètres de la for­mule : les options offrant une pro­tec­tion con­tre les krachs bour­siers étaient désor­mais éval­uées avec un paramètre de volatil­ité plus élevé que les options cap­turant de petites vari­a­tions quo­ti­di­ennes du marché. Cet effet est devenu con­nu sous le nom de « smile de volatil­ité » en rai­son de la forme en sourire que le graphique de volatil­ité revêt sur les écrans des traders. Depuis lors, des exten­sions de plus en plus com­plex­es de la for­mule Black-Scholes ont été dévelop­pées : volatil­ité locale, volatil­ité sto­chas­tique, volatil­ité rugueuse, etc.

Le par­a­digme Black-Scholes a été remis en ques­tion par plusieurs auteurs qui sou­ti­en­nent que des mod­èles rad­i­cale­ment dif­férents sont néces­saires pour une meilleure ges­tion des risques, comme ceux basés sur les frac­tales intro­duites par Benoît Man­del­brot. Cepen­dant, ces mod­èles n’ont jamais pris racine dans l’industrie finan­cière car ils ne per­me­t­tent pas une cou­ver­ture effi­cace. La ges­tion des risques sur les marchés des options repose tou­jours sur le principe de cou­ver­ture dynamique dévelop­pé par Black et Scholes, et leur for­mule, bien qu’elle soit rarement util­isée directe­ment, four­nit aux traders un lan­gage com­mun pour exprimer des idées plus complexes.

La for­mule Black-Scholes découle d’une équa­tion, rap­pelant « l’équation de la chaleur » en physique, qui décrit la prop­a­ga­tion de la chaleur dans un corps solide. Il n’est donc pas sur­prenant que les pre­miers « quants » soient issus du domaine de la physique. Cepen­dant, les math­é­mati­ciens ont rapi­de­ment réal­isé qu’ils, et non les physi­ciens, dis­po­saient des out­ils par­faits pour dévelop­per la théorie de l’évaluation des options. Avec la pub­li­ca­tion de deux arti­cles his­toriques par Har­ri­son et Kreps en 1979, puis par Har­ri­son et Pliska en 1982, il est devenu évi­dent que la théorie du cal­cul sto­chas­tique était par­faite­ment adap­tée pour décrire les notions d’arbitrage, de cou­ver­ture dynamique et, en fin de compte, d’évaluation des options. Le cal­cul sto­chas­tique a été inven­té par le math­é­mati­cien japon­ais Kiyoshi Ito, puis dévelop­pé par l’école française de prob­a­bil­ités à Paris et à Stras­bourg. Il n’est donc pas éton­nant que de nom­breux math­é­mati­ciens aient trou­vé dans les nou­velles for­mules finan­cières un ter­rain d’application par­fait avec des ques­tions de recherche stim­u­lantes, des étu­di­ants curieux et des parte­naires indus­triels encour­ageants. Ain­si, un parte­nar­i­at pro­duc­tif et durable s’est for­mé entre une par­tie de la com­mu­nauté math­é­ma­tique et le secteur financier. Non seule­ment les math­é­mati­ciens ont aidé les traders à éval­uer les options, mais le secteur financier a été une source impor­tante d’idées qui ont con­duit à l’émer­gence de nou­velles branch­es de la probabilité.

Un parte­nar­i­at pro­duc­tif et durable s’est for­mé entre une par­tie de la com­mu­nauté math­é­ma­tique et le secteur financier. 

Mal­heureuse­ment, cette rela­tion durable a con­duit cer­tains traders à croire que les math­é­ma­tiques leur per­me­t­taient de fix­er par­faite­ment le prix et de cou­vrir n’importe quel type d’option, aus­si sophis­tiquée soit-elle. Lorsque la crise finan­cière mon­di­ale a frap­pé, cer­tains ont pen­sé que les math­é­mati­ciens en étaient respon­s­ables et que les mod­èles math­é­ma­tiques étaient les « armes de destruc­tion mas­sive » qui avaient pré­cip­ité la crise. En réal­ité, la crise n’a pas été causée par une recherche math­é­ma­tique exces­sive, mais par son insuff­i­sance. La for­mule util­isée par les ban­ques pour éval­uer les oblig­a­tions de crédit adossées à des act­ifs, un dérivé financier en grande par­tie respon­s­able de la crise, était trop sim­ple pour cette tâche et ne tenait pas compte de nom­breux risques asso­ciés à ces pro­duits complexes.

La crise a entraîné des change­ments pro­fonds, non seule­ment dans l’industrie finan­cière, mais aus­si dans les math­é­ma­tiques finan­cières. Au lieu de dévelop­per des mod­èles com­plex­es pour l’évaluation des options, la recherche s’est ori­en­tée vers des approches plus robustes et vers la ges­tion de nou­veaux types de risques, tels que le risque de défail­lance sys­témique du sys­tème financier.

À la fin des années 1980, Paris est dev­enue un cen­tre financier impor­tant avec de nom­breuses ban­ques et un marché des options en plein essor. C’était égale­ment le foy­er de cer­tains des plus grands experts mon­di­aux en prob­a­bil­ité, cal­cul sto­chas­tique et con­trôle sto­chas­tique. D’autre part, le sys­tème d’enseignement supérieur français, avec ses grandes écoles, met­tait forte­ment l’accent sur une for­ma­tion com­plète en math­é­ma­tiques, et de nom­breux étu­di­ants étaient désireux d’apprendre de nou­velles appli­ca­tions de cette dis­ci­pline scientifique.

Paris à la fin des années 1980 était donc un ter­reau fer­tile pour faire pro­gress­er les math­é­ma­tiques finan­cières, créer des pro­grammes d’enseignement en finance quan­ti­ta­tive et établir des parte­nar­i­ats entre les uni­ver­sités et les insti­tu­tions finan­cières. Ce nou­veau domaine a sus­cité l’intérêt des prin­ci­paux prob­a­bilistes français, par­mi lesquels Nicole El Karoui, Hélyette Geman, Nico­las Bouleau, Damien Lam­ber­ton et Bernard Lapeyre.

En 1990, une fil­ière en math­é­ma­tiques finan­cières a été créée dans le prin­ci­pal pro­gramme de mas­ter en prob­a­bil­ités à Jussieu (aujourd’hui Sor­bonne Uni­ver­sité). Ce pro­gramme a attiré prin­ci­pale­ment des étu­di­ants des grandes écoles d’ingénieurs comme l’École poly­tech­nique et l’École des Ponts, qui ont été for­més à la théorie Black-Scholes avec une touche française bien dis­tincte de cal­cul sto­chas­tique. À peu près à la même époque, un cours de math­é­ma­tiques finan­cières a été intro­duit à l’École des Ponts, ce qui a con­duit à la pub­li­ca­tion en 1992 de « Cal­cul sto­chas­tique appliqué à la finance » de D. Lam­ber­ton et B. Lapeyre, pre­mier livre sur ce sujet en France et un des pre­miers au monde. En 1997, Nicole El Karoui est dev­enue pro­fesseure à l’École poly­tech­nique et a créé le cours « Méth­odes sto­chas­tiques en finance » dans la majeure math­é­ma­tiques appliquées.

Au cours des 10 années précé­dant la crise des sub­primes, le nom­bre d’étudiants dans ces pro­grammes et d’autres a explosé, au point qu’en 2006, Le Monde a rap­porté qu’« un quant sur trois dans le monde est français ». À la suite de la crise finan­cière, le nom­bre d’é­tu­di­ants inscrits a dimin­ué dans une cer­taine mesure, en rai­son d’une diminu­tion tem­po­raire des embauch­es par les ban­ques. De plus, l’accent des pro­grammes d’enseignement s’est déplacé de l’évaluation des options à la ges­tion des risques et à la régle­men­ta­tion. Actuelle­ment, le flux de quants français con­tin­ue à un rythme plus mod­éré. Néan­moins, le pro­gramme de l’École poly­tech­nique et le pro­gramme his­torique de mas­ter en prob­a­bil­ités et finance, désor­mais géré con­join­te­ment par Poly­tech­nique et Sor­bonne Uni­ver­sité, sont tou­jours une mar­que d’excellence dans le domaine.