Satellites : l’importance des « points de Lagrange »

Il paraît que le téle­scope spa­tial James Webb vient tout juste d’ar­riv­er à « bon port », au fameux « point de Lagrange L2 » dans le vide inter­plané­taire de notre sys­tème solaire, à quelques 1,5 mil­lion de kilo­mètres de la Terre. Pourquoi les agences spa­tiales ont-elles décidé de le posi­tion­ner à cet endroit ? Qu’ont ces « points » de Lagrange de si par­ti­c­uli­er pour y envoy­er des satel­lites depuis 50 ans ?

Depuis les lois de la mécanique et de la grav­i­ta­tion élaborées par Isaac New­ton à la fin du XVI­Ie siè­cle, le « prob­lème des trois corps », qui con­siste à déter­min­er le mou­ve­ment de trois objets célestes sous leurs seules attrac­tions grav­i­ta­tion­nelles mutuelles, est un des plus fructueux prob­lèmes de physique. Les ten­ta­tives pour le résoudre ont per­mis le développe­ment d’in­nom­brables avancées théoriques, elles-mêmes respon­s­ables d’ap­pli­ca­tions pra­tiques révo­lu­tion­naires. Même si, aujour­d’hui, et notam­ment grâce aux travaux d’Hen­ri Poin­caré à la fin du XIXe siè­cle, on com­prend mieux pourquoi il est dif­fi­cile, on peut encore con­sid­ér­er qu’il n’est, à ce jour, pas com­plète­ment résolu.

Les points de Lagrange appa­rais­sent naturelle­ment comme des solu­tions par­ti­c­ulières du prob­lème à trois corps dit « restreint », dans lequel l’un des corps est tout petit com­paré aux deux autres. C’est le cas du mou­ve­ment d’un satel­lite autour du Soleil et d’une planète. Nous nous plaçons doré­na­vant dans ce cadre.

Con­sid­érons d’abord le mou­ve­ment de la Terre autour du Soleil, qui est un cer­cle qua­si-par­fait. Elle en fait le tour en un an, c’est ce que l’on appelle sa péri­ode de révo­lu­tion. Imag­i­nons main­tenant que l’on place un satel­lite en orbite cir­cu­laire autour du Soleil, avec une péri­ode de révo­lu­tion d’ex­acte­ment un an, et de sorte qu’il soit tou­jours placé sur l’axe Terre-Soleil. En ajus­tant sa dis­tance au Soleil, la force d’at­trac­tion de ce dernier va exacte­ment com­penser celle de la Terre et le satel­lite sera à l’équilibre.

Mais le lecteur atten­tif aura remar­qué que si le satel­lite orbite le Soleil, alors il subit aus­si une force cen­trifuge (celle qui nous tire vers l’ex­térieur dans un manège ou un rond-point). Cette force s’a­joute aux attrac­tions grav­i­ta­tion­nelles, mais ne change pas la donne : on pour­ra tou­jours ajuster la posi­tion du satel­lite sur l’axe Soleil-Terre pour que les trois forces se com­pensent, comme représen­té sur la fig­ure ci-dessous.

Cette orbite que nous venons de con­stru­ire est pré­cisé­ment le pre­mier de ce que les astronomes appel­lent un « point de Lagrange ». Mais alors pourquoi « point » et pas « orbite » de Lagrange ? La rai­son se trou­ve dans une autre manière de regarder notre prob­lème. En effet, puisque le satel­lite et la Terre font une révo­lu­tion com­plète autour du Soleil en un an, on peut imag­in­er tourn­er avec eux, et pren­dre en compte cette révo­lu­tion dans la représen­ta­tion graphique du prob­lème. La tra­jec­toire du satel­lite est alors réduite à un point, placé entre le Soleil et la Terre, qui, elle aus­si, est immo­bile dans ce référen­tiel dit « co-tour­nant ». Ce point, qui représente en fait une orbite, est le point de Lagrange L1.

Le référen­tiel co-tour­nant est bien pra­tique et per­met de décou­vrir qua­tre autres points de Lagrange, en cher­chant d’autres endroit où les forces d’at­trac­tion de la Terre et du Soleil com­pensent la force cen­trifuge. Deux autres de ces points, appelés L2 et L3, se trou­vent aus­si sur l’axe Soleil-Terre, comme indiqué sur la fig­ure ci-dessous.

L2 se situe de l’autre côté de la Terre par rap­port à L1, et L3 est de l’autre côté du Soleil. On voit bien sur la fig­ure que les trois forces subies par un satel­lite en ces points se com­pensent : c’est pourquoi on les appelle aus­si des « points d’équili­bre ». Avec L1, les points L2 et L3 cor­re­spon­dent à trois solu­tions exactes du prob­lème à trois corps déter­minées par Leonard Euler et pub­liées en 1765. En par­ti­c­uli­er, étant situé à l’op­posé du Soleil par rap­port à nous, le point L3 a été l’ob­jet de nom­breux fan­tasmes depuis l’an­tiq­ui­té, comme l’hy­pothé­tique anti-Terre qui serait placée en L3 et qui nous serait invis­i­ble, car cachée par le Soleil.

C’est Joseph-Louis Lagrange qui mon­tra en 1772 que deux autres points, L4 et L5, exis­tent. Ils ne sont pas sur l’axe Soleil-Terre, mais situés à égale dis­tance d’eux, de telle sorte à for­mer un tri­an­gle équilatéral. En ces points, les deux forces grav­i­ta­tion­nelles et la force cen­trifuge, bien que non-alignées, se com­pensent par­faite­ment, comme indiqué sur la fig­ure ci-dessous. En pra­tique, le satel­lite se situe donc qua­si­ment sur l’or­bite de la Terre, avec 60° d’a­vance (L4) ou de recul (L5) par rap­port à elle.

Les points de Lagrange étant asso­ciés à des posi­tions d’équili­bre, il ne serait pas éton­nant d’y trou­ver, dans le sys­tème Solaire, des objets naturels (comme des petits astéroïdes). Dans le cas du sys­tème Soleil-Jupiter, on observe autour des points de Lagrange L4 et L5 env­i­ron 10 000 astéroïdes à ce jour. Appelés astéroïdes Troyens, cer­tains d’en­tre eux ont même des satel­lites naturels à leur tour, comme le plus gros appelé « (624) Hec­tor » et sa lune astéroï­dale « Scamandrios ».

Ces mil­liers d’ob­jets sont la preuve que les régions de sta­bil­ité de Lagrange sont réelles et pas juste des con­sid­éra­tions théoriques. La plu­part des planètes du sys­tème Solaire ont des astéroïdes « Troyens », i.e., situé proche des emplace­ments L4 et L5 du sys­tème Soleil-planète, même s’il faut not­er qu’aucun Troyen n’a été observé pour le sys­tème Terre-Sat­urne. On soupçonne que les per­tur­ba­tions dues à Jupiter empêche les astéroïdes d’y rester trop longtemps⁴. Ironique­ment, deux satel­lites naturels de Sat­urne, Téthys et Dion­né, pos­sè­dent des Troyens eux-mêmes !